Gli esempi sviluppati hanno il fine di evidenziare le caratteristiche ed il funzionamento dei modelli di palo implementati nel modulo Pali.

Si procede con la descrizione del palo soggetto a carico assiale

con funzionamento per attrito laterale
con rigidezza solo in punta
con funzionamento combinato attrito laterale e rigidezza alla punta

e si conclude con il palo soggetto ad un'azione di taglio

con funzionamento per rigidezza trasversale.

Ogni esempio indaga il comportamento del palo singolo e della coppia di pali sottoposti alle medesime condizioni di carico totale per osservare come variano la ripartizione del carico ed i cedimenti.

1 - Attrito Laterale: palo singolo

Consideriamo un palo lungo 20 m con diametro di 40 cm sottoposto ad un carico assiale di 25000 daN.

Fig. 1 Definizione del palo tipo.

Con il comando Caratteristiche inerziali e materiali dei pali si definisce il palo tipo lungo 20 m, senza zoccolo in testa, costituito da 20 conci, con il centro del gruppo di pali nel baricentro geometrico dei pali ed efficienza ai carichi verticali completa (vedi Fig. 1).

Con il comando Input sezioni si definisce la geomtria della sezione trasversale e le caratteristiche meccaniche del materiale (E, ν).

Fig. 2 Definizione della sezione del palo.

Il palo singolo ora è definito per cui la rigidezza assiale del palo (K= EA/L) è un dato noto in ogni concio.

In base allo schema di riferimento illustrato nella Fig. 3, valido per il funzionamento ad attrito laterale, occorre completare la definizione del modello con il contributo della rigidezza assiale offerto dal terreno.

Fig. 3 Modello di palo funzionante per attrito laterale.

K_ci: rigidezza assiale del concio i-esimo
K_vi: rigidezza assiale fornita dall'attrito laterale per ogni concio

Con il comando Dati terreno si accede alla pagina dedicata al modulo di resistenza verticale K_v (vedi Fig. 4).

In questo esempio si considerano dati noti del palo il cedimento di 1 cm se sottoposto ad un carico assiale di 25000 daN.

Il dialogo prevede l'input del parametro K_v in modo da definire il suo andamento al variare della profondità nel terreno. In questo esempio si impiega un K_v costante tale da determinare il cedimento totale di 1 cm della testa del palo.

Fig. 4 Pagina dedicata al modulo di resistenza verticale K_v.

La definizione automatica del parametro K_v può essere eseguita impostanto nei rispettivi campi il carico assiale che provoca il relativo cedimento atteso e si clicca sul pulsante a lato.

Il parametro K_v determinato in questo caso specifico, quindi, è quello che considerando in ogni concio il cedimento per attrito ed il cedimento per deformazione, in funzione dello sforzo normale proprio in ogni concio, fa si che in testa al palo il cedimento totale sia di 1 cm.

La rigidezza R_p per la resistenza alla punta del palo va trascurata per cui si deseleziona l'opzione specifica nella pagina dedicata a questa caratteristica (vedi Fig. 5).

Fig. 5 Pagina rigidezza R_p per la resistenza alla punta.

Si passa alla definizione del carico attivando il comando Azioni di calcolo.

In questo esempio si definiscono due condizioni di carico applicato nel baricentro:

Carico assiale di -25000 daN
Carico assiale di -50000 daN

Il segno del carico è negativo ad indicare il verso opposto a quello dell'asse locale Z.

Con la prima condizione di carico ci si aspetta di osservare il cedimento totale pari a 1 cm mentre con la seconda condizione si prevede il cedimento doppio.

Fig. 6 Condizione di carico n 1.

Attivando il comando Calcola si ottiene la relazione con il calcolo dei cedimenti del palo in esame sottoposto alle due condizioni di carico definite.

Output attrito laterale su 1 palo

Osservando i cedimenti ottenuti si ha conferma di quelli attesi. Il diagramma dello sforzo normale evidenzia come il carico in testa al palo viene trasferito completamente al terreno man mano che si raggiungono le quote più profonde.

Fig. 7 Condizione 1: diagramma sforzo normale nel palo.

2 - Attrito Laterale: coppia di pali

Si realizza il modello con due pali derivandolo da quello definito con un palo singolo dell'esempio precedente (Esempio 1).

Per operare in tal senso si attiva il comando Modifica geometria e si accede al dialogo di Fig. 8 dove si modifica la posizione del palo già presente nel punto (0, 0) per portarlo in posizione (0, 0.6) e si aggiunge il secondo palo nella posizione simmetrica (0, -0.6).

Fig. 8 Modifica della posizione e numero dei pali.

In questo modo ho conservato tutto l'input già eseguito per il palo singolo (geometria palo generico, materiali, terreno, carichi) per cui salvo il modello modificato in un file separato.

Con il comando Calcola si ottiene la relazione con il calcolo dei cedimenti nei pali in esame sottoposti alle due condizioni di carico definite.

Output attrito laterale su 2 pali

Osservando i cedimenti ottenuti si ha conferma di quelli attesi ed in particolare che il carico totale, rimasto invariato rispetto all'esempio precedente, ripartito su due pali in parti uguali procura cedimenti uguali nei due pali ma dimezzati rispetto al palo singolo.

Il diagramma dello sforzo normale evidenzia come il carico in testa al palo viene ripartito in parti uguali ai due pali e trasferito completamente al terreno man mano che si raggiungono le quote più profonde.

Fig. 9 Condizione 1: diagramma sforzo normale nella coppia di pali.

3 - Rigidezza in Punta: palo singolo

Partendo dal modello di palo singolo impiegato nell'esempio n. 1 si ottiene quello con funzionamento solo per rigidezza alla punta impiegando il comando Dati terreno con cui eseguire le necessarie modifiche atte ad introdurre la rigidezza alla punta Rp e neutralizzare il modulo di resistenza verticale Kv per azzerare la rigidezza per attrito laterale.

Lo schema di riferimento illustrato nella Fig. 10 è valido per il funzionamento di un palo con rigidezza alla punta.

Si nota che sono considerate sia la rigidezza assiale di ogni concio del palo che la rigidezza offerta dall'affondamento della punta del palo nel terreno.

Fig. 10 Modello di palo con rigidezza alla punta.

K_ci: rigidezza assiale del concio i-esimo
K_p: rigidezza assiale fornita dall'affondamento della punta del palo

Nella pagina dedicata al parametro K_v si impone la quota di 22 m al punto in cui il parametro assume valore non zero: da questa quota e per quelle più profonde il valore resta costante a quello indicato (non importa il valore diverso da zero che si assegna) mentre per quote meno profonde è assunto pari a zero. Essendo il palo esteso 20 m si ottiene la neutralizzazione dell'attrito laterale lungo tutto il fusto.

Fig. 11 Pagina dedicata al modulo di resistenza verticale K_v.

Si passa quindi alla definizione della rigidezza alla punta (vedi Fig. 12). Nel relativo dialogo si attiva l'opzione Il palo ha resistenza alla punta e si definisce R_p. Per semplificare il paragone con i casi visti negli esempi precedenti imponiamo ancora una rigidezza della testa del palo di 25000 daN/cm il che si traduce in una rigidezza alla punta superiore per tener conto della deformazione del fusto.

Considerando la rigidezza assiale K=EA/L il fusto del palo si accorcia di 0.13 cm quando lo si carica con 25000 daN in testa. Per ottenere il cedimento totale di 1.0 cm si deve verificare un affondamento pari a 0.87 cm della punta del palo per cui la rigidezza R_p vale 25000/0.87= 28822 daN/cm.

Fig. 12 Pagina rigidezza Rp per la resistenza alla punta

Il modello così definito è pronto per essere archiviato in un file proprio e con il comando Calcola si ottiene la relazione con il calcolo dei cedimenti nel palo in esame sottoposto alle due condizioni di carico definite.

Output resistenza di punta 1 palo

Osservando i cedimenti ottenuti si ha conferma di quelli attesi ed in particolare che il carico totale procura il cedimento di 1 cm nella condizione 1 (carico di 25000 daN) e cedimenti doppi con carico doppio.

Il diagramma dello sforzo normale evidenzia come il carico in testa al palo viene trasferito al terreno solo attraverso la punta in quanto lo sforzo assiale resta costante su tutto il fusto.

Fig. 13 Condizione 1: diagramma sforzo normale nel palo.

4 - Rigidezza in Punta: coppia di pali

Il modello con due pali resistenti alla punta lo si deriva da quello dell'esempio precedente modificando il numero di pali e la posizione con il comando Modifica geometria, come già descritto nell'esempio 2 (vedi Fig. 8).

Con il comando Calcola si ottiene la relazione con il calcolo dei cedimenti nei pali in esame sottoposti alle due condizioni di carico definite.

Output resistenza di punta 2 pali

Il diagramma dello sforzo normale evidenzia come il carico totale in testa al gruppo di pali viene ripartito in parti uguali tra i due pali e trasferito al terreno solo attraverso la punta in quanto lo sforzo assiale resta costante su tutto il fusto.

Fig. 14 Condizione 1: diagramma sforzo normale nella coppia di pali.

5 - Attrito Laterale e Rigidezza in Punta: palo singolo

In questo esempio il palo singolo assume il funzionamento combinato descritto negli esempi 1 e 3 (attrito laterale e contemporanea rigidezza alla punta).

Partendo dal modello dell'esempio 1 si attiva la rigidezza Rp nella punta del palo con i parametri visti nell'esempio 3 e si salva il file con un proprio nome.

Sono considerati invariati il materiale, il terreno e le condizioni di carico già descritti nei rispettivi esempi suddetti.

I cedimenti attesi in questo tipo di palo si attestano a valori dimezzati in quanto il doppio regime di funzionamento sviluppa una rigidezza doppia.

Con il comando Calcola si ottiene la relazione con il calcolo dei cedimenti nel palo in esame sottoposto alle due condizioni di carico definite.

Output Attrito laterale e resistenza alla punta 1 palo

Osservando i cedimenti ottenuti si ha conferma di quelli attesi ed in particolare che il carico totale procura il cedimento di 0.53 cm nella condizione 1 (carico di -25000 daN) e cedimenti doppi con carico doppio.

Il diagramma dello sforzo normale evidenzia come il carico in testa al palo viene trasferito al terreno per metà lungo il fusto per attrito laterale e per metà attraverso la punta in quanto lo sforzo assiale si dimezza nel passare dalla testa alla punta del palo.

Fig. 15 Condizione 1: diagramma sforzo normale nel palo.

Per ottenere esattamente i dati dimezzati rispetto ai casi elementari degli esempi 1 e 3 nel funzionamento combinato occorre incrementare la R_p da 28822 daN/cm a 33000 daN/cm lasciando invariata la rigidezza per attrito laterale. Si nota che R_p e K_v vanno calibrati (ci sono infinite coppie di valori validi) per fare in modo di ottenere il valore dimezzato come suddetto.

Allo stesso tempo si nota come il funzionamento combinato mette in gioco una soluzione più complessa da calcolare in quanto il carico assiale è variabile sul fusto del palo e l'equazione differenziale degli spostamenti è simile a quella che regola il problema delle travi su suolo elastico e la sua soluzione in forma chiusa può portare a delle approssimazioni.

6 - Attrito Laterale e Rigidezza in Punta: coppia di pali

Impiegando due pali dello stesso tipo visto nell'esempio precedente ed organizzati come descritto nell'esempio 2 si prevedono cedimenti dimezzati rispetto all'esempio precedente.

Con il comando Calcola si ottiene la relazione con il calcolo dei cedimenti nei pali in esame sottoposti alle due condizioni di carico definite.

Output Attrito laterale e resistenza alla punta 2 pali

Il diagramma dello sforzo normale evidenzia come il carico in testa al palo viene ripartito in parti uguali tra i due pali e viene trasferito al terreno per metà lungo il fusto per attrito laterale e per metà attraverso la punta in quanto lo sforzo assiale si dimezza nel passare dalla testa alla punta di ogni palo.

Fig. 16 Condizione 1: diagramma sforzo normale nella coppia di pali.

7 - Rigidezza Trasversale: palo singolo

Consideriamo un palo lungo 15 m con diametro di 60 cm sottoposto ad un carico trasversale in testa.

Fig. 17 Definizione del palo tipo.

Con il comando Caratteristiche inerziali e materiali dei pali si definisce il palo tipo lungo 15 m, senza zoccolo in testa, costituito da 15 conci, con il centro del gruppo di pali nel baricentro geometrico dei pali ed efficienza ai carichi orizzontali completa (vedi Fig. 17).

Con il comando Input sezioni si definisce la geomtria della sezione trasversale e le caratteristiche meccaniche del materiale (E, ν).

Fig. 18 Definizione della sezione del palo.

Il palo singolo ora è definito per cui la rigidezza flessionale e tagliante del palo è un dato noto in ogni concio.

In base allo schema di riferimento illustrato nella Fig. 19, valido per il funzionamento con rigidezza trasversale, occorre completare la definizione del modello con il contributo della rigidezza trasversale offerto dal terreno.

Fig. 19 Modello di palo con rigidezza trasversale.

K_hi: rigidezza trasversale fornita dalla deformazione del terreno circostante il fusto del palo
K_ci: rigidezza flessionale del concio i-esimo. La rigidezza tagliante del concio i-esimo viene aggiunta a K_hi

Con il comando Dati terreno si accede alla pagina dedicata al modulo di resistenza verticale K_h (vedi Fig. 20). I parametri K_v ed R_p risultano ininfluenti per le condizioni di carico previste.

In questo esempio si considerano dati noti del palo la traslazione di 1 cm della testa del palo se sottoposto ad un carico tagliante di 10000 daN.

Il dialogo prevede l'input del parametro K_h in modo da definire il suo andamento al variare della profondità nel terreno. In questo esempio si impiega un K_h costante tale da determinare lo spostamento totale di 1 cm della testa del palo (rigidezza totale alla traslazione del palo pari a 10000 daN/cm).

Fig. 20 Pagina dedicata al modulo di resistenza verticale Kv.

La definizione automatica del parametro K_h può essere eseguita impostanto nei rispettivi campi il carico tagliante che provoca il relativo cedimento atteso e si clicca sul pulsante a lato.

Si passa alla definizione del carico attivando il comando Azioni di calcolo.

In questo esempio si definiscono due condizioni di carico applicato nel baricentro:

Carico tagliante di 5000 daN
Carico tagliante di 10000 daN.

Con la prima condizione di carico ci si aspetta di osservare il cedimento totale pari a 0.5 cm mentre con la seconda condizione si prevede il cedimento doppio (1.0 cm).

Fig. 21 Condizione di carico n 2.

Attivando il comando Calcola si ottiene la relazione con il calcolo dei cedimenti del palo in esame sottoposto alle due condizioni di carico definite.

Output Rigidezza trasversale 1 palo

Osservando i cedimenti ottenuti si ha conferma di quelli attesi.

Fig. 22 Condizione 2: diagramma del momento flettente nel palo (curva chiara) e delle pressioni sul terreno (curva blu).

8 - Rigidezza Trasversale: coppia di pali

Il modello con due pali resistenti al carico trasversale tagliante lo si deriva da quello dell'esempio precedente (Esempio 7) modificando il numero di pali e la posizione con il comando Modifica geometria, come già descritto nell'esempio 2 (vedi Fig. 8).

Con il comando Calcola si ottiene la relazione con il calcolo dei cedimenti nei pali in esame sottoposti alle due condizioni di carico definite.

Output Rigidezza trasversale 2 pali

Osservando i cedimenti ottenuti si ha conferma di quelli attesi. Il carico totale invariato procura alla coppia di pali traslazioni dimezzate in entrambe le condizioni di carico rispetto al caso del palo singolo.

Fig. 23 Condizione 2: diagramma del momento flettente nei pali.

Esempi di calcolo di pali