Il modulo Verifica e Disegno Lastre è integrato all'interno del modulo Verifica e Disegno C.A. e può eseguire le seguenti verifiche della soletta in cemento armato:

a flessione biassiale;
a punzonamento nei punti di contatto con i pilastri;
a sforzo assiale (funzionamento a membrana)

Si può impiegare il metodo di verifica alle Tensioni Ammissibili (TA) o agli Stato Limite (SL).

L'output ottenibile riguarda la descrizione delle verifiche condotte. Le informazioni sono disponibili sia come restituzione alfanumerica che in termini grafici esportabili.

Avvio della Sessione di Lavoro

Il modulo viene aperto dal Verifica e Disegno C.A. con il comando Seleziona lastra per accogliere in una sottofinestra di classe Lastra la geometria della soletta selezionata.

Fig. 1 Finestra principale del Verifica e Disegno CA contenente una sottofinestra di classe Lastra.

Tutte le sollecitazioni interne alla soletta calcolate nelle diverse combinazioni definite nel modello sono considerate per condurre le verifiche sulla soletta.

Con il comando Salva si archivia l'armatura definita nella soletta. Questi dati sono conservati nel file generale del modello NomeProgetto.dt. Con il comando Seleziona lastra si riapre la soletta completa delle armature nelle sessioni di lavori successive.

Per la definizione delle armature si impiegano i comandi del menu Armature, per le modifiche delle armature si impiegano i comandi del menu Modifica e per l'esecuzione delle verifiche si utilizzano i comandi del menu Verifiche.

Iter operativo

Dopo aver disposto l'armatura all'intradosso e/o all'estradosso della soletta, si chiede la verifica e si rileva se l'armatura corrente è sufficiente. Nel caso favorevole, si potrà procedere alla composizione della tavola di disegno mentre, in quello contrario, occorrerà incrementare in maniera opportuna l'armatura disposta nella soletta.

La definizione della disposizione delle armature può essere condotta sia in modo grafico, attraverso l'uso del mouse, che numerico attraverso l'uso di funzioni specifiche. Le stesse possibilità sono disponibili per l'esecuzione delle modifiche delle armature.

La verifica viene condotta in presenza di soli momenti principali (verifica a flessione biassiale con le armature proiettate secondo le direzioni principali) o di sole tensioni principali (verifica a sforzo normale della sezione ideale orientata secondo le direzioni principali) per rintracciare la situazione critica. Si procede in automatico a valutare gli effetti nelle verifiche della simultanea presenza di momenti e tensioni principali, quando richiesto.

Il disegno corrente, disponibile all'interno della sottofinestra Lastra, è in qualsiasi momento duplicabile in quella di classe Tavola a formare il disegno esecutivo.

Metodologie di verifica

In WinStrand gli elementi lastra/piastra vengono distinti in due categorie in funzione dello stato di sollecitazione:

Elementi soggetti ad uno stato di sollecitazione semplice (flessione o tensionale a membrana);
Elementi soggetti ad uno stato di sollecitazione misto (flessionale e tensionale a membrana).

Nel seguito verranno descritte, sinteticamente, le modalità di verifica implementate e sopratutto i limiti di applicabilità.

Elementi soggetti ad uno stato di sollecitazione semplice

In questo caso è semplice risalire alle azioni principali partendo dalle azioni presenti nel generico punto di rilevazione delle azioni (punto di Gauss dell'elemento), sia che si tratti di azioni membranali (N_x, N_y, N_xy oppure N₁, N₂, α) che flessionali (M_x, M_y, M_xy oppure M₁, M₂, α).

Fig. 2 Convenzione sulle componenti di sollecitazione.

Note che siano le azioni principali, è immediato procedere alla verifica della sezione trasversale unitaria, sia con il metodo delle tensioni ammissibili (TA) che con quello agli stati limite (SL), utilizzando i metodi classici messi a disposizione dalla scienza delle costruzioni. L'unico punto da segnalare è il calcolo delle armature presenti nelle sezioni inclinate di α e di α+π/2 :

Fig. 3 Disposizioni generiche delle armature inclinate.

Considerando la generica barra inclinata di α_k rispetto ad una direzione di riferimento θ l'ipotesi di compatibilità degli spostamenti fra calcestruzzo e acciaio porta alla seguente relazione:

ε_k = ε₁ cos²(θ-α_k) + ε₂ sin²(θ-α_k)

da cui è immediato ricavare la rigidezza della barra nella direzione θ che vale:

R = A_k E(ε_k)

ovvero, assunto θ = 0

A_x = A_k cos²(α_k)

A_y = A_k sin²(α_k)

Queste relazioni sono impiegate da WinStrand indipendentemente dal metodo di calcolo impiegato (TA/SL).

Elementi soggetti ad uno stato di sollecitazione misto

In questo caso non è possibile utilizzare il metodo illustrato precedentemente in quanto le direzioni principali variano, lungo lo sviluppo z dell'elemento, in modo continuo.

Fig. 4 Suddivisione dell'elemento lastra in strati sottili.

Per tenere conto di questo comportamento il codice di verifica procede a:

suddividere l'elemento in tanti strati di 1 cm di spessore;
valutare, per ogni strato, il corrispondente stato di deformazione e tensione membranale;
ricostruire, per sovrapposizione dei vari strati membranali, il comportamento globale dell'elemento soggetto allo stato misto di presso-flessione.

Questo modo di procedere è ampiamente discusso in letteratura tecnica sia per modellare elementi guscio, quando costituiti da strati di materiali diversi, che per la loro verifica.

La descrizione dell'algoritmo di verifica prevede i seguenti passi logici essenziali:

Definizione di uno stato deformativo iniziale U_i =(ε_x, ε_y, ε_xy, χ_x, χ_y, χ_xy)
Calcolo dello stato deformativo nel generico strato (ε_x,str, ε_y,str, ε_xy,str) in funzione di U_i:
ε_x,str = ε_x + z χ_x
ε_y,str = ε_y - z χ_y
ε_xy,str = ε_xy + z χ_xy
Valutazione dello stato tensionale nello strato, calcolato in funzione del proprio stato deformativo;
Calcolo della matrice di rigidezza secante dello strato tenendo conto delle specifiche proprietà del materiale costituente lo strato;
Assemblaggio della matrice di rigidezza (6x6) del guscio assemblando le matrici di rigidezza (3x3) dei singoli strati;
Risoluzione del sistema standard U_j=K^-1 F essendo F=(N_x, N_y, N_xy, M_x, M_y, M_xy)
Stop se si è raggiunta convergenza (U_j-U_i) < ε, altrimenti U_i=U_j e si ritorna al passo 2

Al passo 1 si è indicato con ε_x e con χ_x la deformazione membranale e la curvatura secondo l'asse x con riferimento al piano medio dell'elemento. Similmente per gli altri pedici.

È evidente che in questo algoritmo un ruolo strategico è affidato al calcolo delle matrici di rigidezza dei singoli strati, soprattutto per quanto riguarda la componente calcestruzzo.

MATRICE DI RIGIDEZZA ARMATURE

Per le barre di armatura presenti nel generico strato si considera la seguente matrice di rigidezza:

A_x E_s(ε_x)		simm.
	A_y E_s(ε_y)
		0

e nei due casi standard E(ε) vale:

TA: E_s=E_o (indefinitamente elastico)

SL:
E_s=E_o, per ε < ε_y
E_s=f_y/ε, per ε > ε_y

essendo f_y la tensione di snervamento di progetto dell'acciaio ed ε_y = f_y/E_o la corrispondente deformazione.

Fig. 5 Legame costitutivo a bilatera valido per acciaio (metodo SL).

MATRICE DI RIGIDEZZA CALCESTRUZZO (metodo TA)

Per il calcestruzzo la matrice di rigidezza relativa al generico strato è del tipo:

t B E_c1(ε₁)		simm.
	t B E_c2(ε₂)
		t B G_c

essendo t e B spessore ed area dello strato, rispettivamente.

In pratica, note che siano le deformazioni nel riferimento globale, vengono calcolate le deformazioni nel riferimento principale e da queste viene desunto lo stato di sollecitazione nell'elemento.

Il calcestruzzo in compressione è assunto indefinitamente elastico lineare mentre, in trazione, si può assumere (opzionalmente) che sia in grado di assumere una trazione compresa fra 0 e f_ct, essendo f_ct la resstenza a trazione del calcestruzzo definita dall'EC2.

Fig. 6 Legame costitutivo calcestruzzo (metodo TA).

Pertanto il modulo di elasticità secante del calcestruzzo E(ε) nella generica direzione vale:

E_c=E_s/n, in compressione
E_t=E_c, per σ_c < f_ct
E_t=0, per σ_c > f_ct

Il modulo di elasticità tangenziale G_c è assunto pari a:

G_c=( E_c1 + E_c2 ) / ( E_c1 * E_c2 )

come suggerito in "VECTOR2 & FORMWORKS USER'S MANUAL" P. S. Wong e F.J. Vecchio August, 2002 , a proposito del metodo MCFT di cui si parlerà per gli SL.

MATRICE DI RIGIDEZZA CALCESTRUZZO (metodo SL)

Dopo aver considerato i pro e i contro derivanti dall'impiego, nelle verifiche, del metodo MCFT (Modifyed Compression Field, sviluppato presso l'Università di Toronto da Collins e Del Vecchio a partire dagli anni '80) siamo giunti alla conclusione che detto metodo risultava inefficiente per i seguenti motivi:

Il metodo funziona egregiamente per il calcolo delle azioni di rottura (SLU) ma risulta, per sua stessa natura ed almeno algoritmicamente, inadatto per il calcolo delle azioni resistenti SLE. Questo perchè il metodo è focalizzato sul ripristino dell'equilibrio a rottura della sezione analizzata. Come conseguenza, benchè sia possibile valutare lo stato della sezione negli stadi pre-rottura, il suo impiego risulta essere, computazionalmente, estremamente oneroso.

In conseguenza di queste considerazioni, abbiamo proceduto ad una rivalutazione del problema e siamo giunti alla conclusione che risulta più efficiente il metodo RA-STM (the Rotating-Angle Softened Truss Model) sviluppato da Hsu ed altri presso l'universita' di Houston (Belarbi and Hsu 1991, 1994, 1995; Pang and Hsu 1995; Hsu 1993) e sul quale si basa l'attuale normativa americana. Come nel metodo MCFT, utilizzando la procedura RA-STM si suppone che l'inclinazione θ delle tensioni principali, nella sezione fessurata, coincida con le direzioni principali di deformazione.

Il metodo formula le equazioni di equilibrio in termini di tensioni medie

Fig. 7 Tensioni principali

e le equazioni di compatibilità in termini di deformazioni medie:

Fig. 8 Deformazioni

Il metodo, tuttavia, invece di considerare le condizioni di equilibrio nella sezione di crack, modifica la relazione tensioni-deformazioni nell'acciaio d'armatura per tener conto dello snervamento delle barre nella sezione di crack. Le relazioni suggerite, ed impiegate dal programma di verifica, sono:

Fig. 9 Legame costitutivo per l'acciaio adottato dal metodo RA-STM.

essendo:

ρ la percentuale di armatura

α₂ l'angolo fra la direzione di crack iniziale e la direzione delle armature considerate.

Fig. 10 Relazione Tensione media-Deformazione media acciaio adottato dal metodo RA-STM.

Il metodo, sostanzialmente, conduce agli stessi risultati ottenibili con il metodo MCFT ma con il pregio di modellare, in modo uniforme, il comportamento dell'acciaio il che consente di pervenire in modo più agevole allo stato deformativo tensionale in condizioni SLE.

Fig. 11 Comparazione della resistenza a taglio attesa in due serie di elementi in c.a..

Per maggiori dettagli si rimanda agli articoli originali di HSU ed Altri (vedi bibliografia in coda).

In conseguenza di ciò, nulla è cambiato riguardo al modello sandwitch già descritto in precedenza per la modellazione dell'elemento di lastra presso-inflesso mentre sono cambiate le metodologie di calcolo della risposta dei singoli layer.

Si evidenzia che, in conseguenza di varie analisi condotte sulle verifiche SLE, è stato modificato anche il calcolo dell'ampiezza delle fessure nelle lastre rendendolo più uniforme a quanto disposto da EC2 e NTC-DM2008. In particolare, viene considerata la direzione di cracking e la tensione delle barre in direzione normale ad essa riconducendo quindi il problema ad una verifica monodirezionale in accordo con quanto disposto da EC2 in 7.3.4 Calcolo dell'ampiezza delle fessure.

Note sulle verifiche a taglio delle lastre

Come noto, la letteratura tecnica al riguardo è quanto meno scarsa. Fra le impostazioni, per la verifica del problema misto taglio + flessione, ricordiamo l'Annex MM dell'EN 1992-2:2005 (E) Shear and transverse bending. Sostanzialmente, il metodo procede suddividendo la lastra (presso-inflessa) suddividendola in tre layer:

Fig. 12 Modello sandwich modificato

I due layer più esterni, a comportamento membranale, incaricati di sviluppare la coppia in grado di equilibrare il momento flettente e l'azione membranale esterna applicata. Il terzo, centrale, incaricato di fronteggiare il taglio. Questa impostazione, ancorchè efficace in molti casi, non è generalizzabile ai casi di pressoflessione e taglio o taglio puro. Inoltre il metodo, di tipo iterativo in quanto procede ricercando un equilibrio a posteriori fra le supposte caratteristiche resistenti dei layer di un assegnato spessore di tentativo, in alcuni casi non raggiunge la convergenza.

Affinamenti del modello di calcolo proposto dall'EC2 si possono trovare in MARTI e nel suo Plastic three-layer model. L'impostazione è simile a quella dell'EC2 (ponti) ma al momento esterno viene aggiunto un momento aggiuntivo autoequilibrato indotto dalla presenza del taglio:

Fig. 13 Modello

Fig. 14 Puntone diagonale di calcestruzzo compresso resistente a taglio e azioni di membrana che lo equilibrano nei due layer (membranali) esterni

Fig. 15 Azioni (membranali) agenti nei layer più esterni

Per maggiori dettagli si consultino i riferimenti bibliografici relativi a MARTI ed Altri(vedi bibliografia in coda).

Questi metodi hanno tuttavia una grosso limite nella loro impostazione di base e cioè la suddivisione dei compiti da assegnare ai vari layer. Questo modo di lavorare implicitamente assume un indefinita duttilità del sistema (pena l'impossibilità di trasferire le azioni fra i due layer estremi) ma in modo più restrittivo, non prevede una metodologia di approccio incrementale/adattiva se non in forma semplificata.

In WinStrand il problema viene risolto utilizzando ed estendendo il modello già impiegato per le lastre presso-inflesse. In sostanza, con formulazione già vista, la lastra viene suddivisa in layer (strati) di spessore costante che però, in questo caso, non sono più costituiti da 'nodi' bidimensionali ma bensì tridimensionali.

Per capire meglio come funziona il modello faremo riferimento alla sua riduzione al campo bidimensionale, essendo la sua estensione al caso 3D, solo formalmente più complessa. Se consideriamo quindi una generica sezione di una trave presso-inflessa soggetta a flessione e taglio senza carichi esterni applicati, avremo che, per l'equilibrio del concio di lunghezza dx dovrà sussistere la relazione:

M + dM = M + V dx

Fig. 16 Equilibrio concio elementare

Considerando l'equilibrio della sezione tratteggiata in figura, a causa della variazione delle tensioni normali alle facce verticali, presenti nella sezioni terminali del concio, dovrà nascere una forza H che rispristina l'equilibrio. Inoltre, imposto l'equilibrio alla rotazione, dovrà risultare che la forza H, alla quota z, divisa per lo spessore B della sezione e dx, dovrà essere pari alle tensioni tangenziali τ. Ovviamente in tutto ciò si assume che la sezione resti piana a deformazione avvenuta anche se, in realtà come noto, nella sezione si ha un effetto d'ingobbamento.

Più in dettaglio:

Fig. 17 Variazione della tensione tangenziale nella sezione

Nella figura è disegnata, sullo stesso asse di riferimento, la variazione del diagramma delle tensioni normali ottenuto come differenza fra il diagramma delle tensioni nelle due sezioni A e B poste a distanza dx. Questa variazione del diagramma delle tensioni normali σ definisce la distribuzione del diagramma delle tensioni tangenziali τ. In particolare, in questo caso, la distribuzione della variazione delle σ è nulla in mezzeria e massima alle estermità per conseguenza la derivata del diagramma delle τ è nulla in mezzeria e massima alle estermità.

In particolare: l'area tratteggiata in figura, ad una assegnata profondità z, risulta proporzionale alla derivata del diagramma delle tensioni tangenziali τ alla medesima quota. Nel caso ipotizzato, la variazione delle σ è lineare, di conseguenza il diagramma delle τ è parabolico. Abbandonando il caso elastico lineare, la variazione delle σ, in generale, non è più lineare, tuttavia le differenze di tensione σ alle varie quote possono calcolarsi e, tramite la conoscenza della variazione di tali tensioni, è possibile risalire al profilo delle tensioni tangenziali τ.

In pratica, noto lo stato deformativo nella sezione trasversale, applicando il principio dei lavori virtuali, viene calcolato il profilo di taglio valutando la risposta della sezione ad un momento indotto da un taglio virtuale (momento pari a V x 1m= M^*). Questo taglio virtuale induce sulla sezione un incremento dello stato tensionale che è indotto però dallo stesso valore dell'azione assiale e del taglio presenti nella sezione originaria mentre il momento è cambiato esattamente di M^*. Questo diagramma di taglio virtuale, una volta moltiplicato per la rigidezza tangente della sezione lungo l'altezza della sezione stessa produce il diagramma tratteggiato di cui sopra e consente il calcolo del diagramma del profilo del taglio nella sezione. È importante rilevare che, nello spirito dei lavori virtuali, si ha a che fare con la matrice di rigidezza tangente della sezione trasversale e pertanto quest'ultima andrà calcolata alle varie quote tenendo conto dell'effettivo stato deformativo-tensionale.

Ricordiamo che questo è un problema di verifica e pertanto assumiamo inizialmente uno stato deformativo per la sezione trasversale e un associato profilo del diagramma del taglio iniziale (all'inizio delle iterazioni il campo deformativo trasversale è quello derivante da un'analisi elastica delle sezione e il diagramma del taglio è quello di Jourawski) . A questo stato deformativo corrisponde, alla generica quota un 'nodo' o layer/strato di spessore t e larghezza b caratterizzato da una matrice di rigidezza tangente del tipo:

Fig. 18 Matrice di rigidezza tangente

È importante rilevare che la matrice di rigidezza tangente è valutata colonna per colonna considerando le derivate rispetto al campo di deformazioni e di conseguenza la matrice, in generale, non è simmetrica. Inoltre non essendo, per ipotesi, presente un'azione esterna in direzione verticale, il taglio totale esterno dev'essere nullo e come conseguenza è necessario modificare la matrice di cui sopra ossia:

Fig. 19 Matrice di rigidezza tangente modificata

ma essendo, per ipotesi, dNy=0, con qualche passaggio si perviene a:

Fig. 20 Matrice di rigidezza tangente semplificata

ovvero il problema si riduce, per il layer/nodo a:

Fig. 21 Matrice di rigidezza tangente semplificata

Queste matrici di rigidezza locali vengono poi assemblate per dar luogo alla matrice di rigidezza tangente (anch'essa in generale non simmetrica) della sezione:

Fig. 22 Matrice di rigidezza tangente della sezione intera

in modo da risolvere il problema:

Fig. 23 Equilibrio del concio

dove:

dε_xo : variazione della deformazione estensionale lungo l'asse x valutata sul baricentro della sezione trasversale

dΦ : corrispondente variazione di curvatura

dγ_xyo : variazione del deformazione tagliante media

dN, dM, dV : variazione dello sforzo assiale, del momento e del taglio

Risolto il problema a livello di sezione, la variazione del diagramma delle tensioni tangenziali nel generico nodo a quota z è fornito direttamente dall'espressione:

δq = j (dε_x + z dΦ) + k dγ_xy

essendo:

j, k : i termini della matrice di rigidezza nodale precedentemente definiti

δq : la derivata/variazione del diagramma del taglio rispetto all'altezza della sezione alla quota z

Questa variazione del flusso di taglio và integrata sull'altezza della sezione e divisa per la larghezza b dell'elemento/nodo a quota z per ottenere il profilo del diagramma del taglio.

Noto il diagramma del profilo di taglio questo viene impiegato nella successiva iterazione per la valutazione della matrice di rigidezza tangente dei vari nodi fino a convergenza del processo.

L'estensione del metodo presentato per la sezione trasversale alle lastre è semplicemente più complesso dal punto di vista algoritmico in quanto in luogo dei nodi 2D si utilizzano dei nodi 3D con il relativo stato di tensione/deformazione tridimensionale ed, al posto delle componenti di azione esterna (N, M,V), si lavora con (Nx,Ny,Nz Mxx,Myy,Mxy, Vx,Vy) ma tutto rimane concettualmente immutato.

Nel caso delle lastre va sottolineato invece che, non essendoci in letteratura delle valide e universalmente accettate formulazioni che descrivano il comportamento del calcestruzzo negli stati di tensione triassiali, (trazione triassiale pura, softening triassiale, compressione triassiale) per il caso 3D vengono impiegate le stesse formulazioni del caso 2D valutando le caratteristiche d'interesse degenerando il caso 3D al caso 2D. Ad esempio il caso di compressione triassiale nella valutazione della variazione di tensioni correlativa alla ε₂ si assume, come tensione di compressione associata, ε₁₃=sqrt(ε₁²,ε₃²) essendo ε₁ ε₃ le deformazioni principali corrispondenti allo stato di deformazione 3D ε_x,ε_y,ε_z,γ_xy,γ_yz,γ_xz del generico nodo/layer.

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