Elemento beam non lineare 'geometrico'

L'attuale formulazione dell'elemento trave non lineare geometrico si basa sul modello proposto da S. Loganathan "Geometric and material non linear behaviour of space frame structures" PhD thesis University of Queensland 1989 basata sul precedente lavoro di J.L. Meek e H.S. Than "Geometric non linear analysis of space frame by an incremental iterative technique" Computer methods in Applied Mechanics and Engineering, 47, 1984.

Le ipotesi alla base della formulazione di questo elemento sono:

• Materiale omogeneo elastico lineare
• Sezione trasversale costante
• Si trascura l'effetto del taglio nella deformazione della trave
• Le sezioni piane rimangono tali a deformazione avvenuta
• Si considera solo la torsione alla De St. Venant
• Il campo di spostamenti all'interno dell'elemento è descritto da funzioni cubiche per l'inflessione laterale e lineari per le deformazioni assiali.

L'elemento è al solito definito nel sistema di riferimento convected.

Il campo di spostamenti laterale dell'elemento relativo alla corda ij è definito da funzioni cubiche:

v= A₁+B₁X+C₁X²+D₁X³

w= A₂+B₂X+C₂X²+D₂X³

ovvero:

dove i coefficienti A1...D2 vengono determinati con le condizioni al contorno:

per x=0 : v=0 , w=0 , v'=Θ_iz , w'=Θ_iy

per x=1 : v=0 , w=0 , v'=Θ_jz , w'=Θ_jy

Risolvendo

con

L'accorciamento assiale dell'elemento dovuto all'inflessione (delta bowing) indicato con δ_b si può valutare con:

da cui

ovvero trascurando i termini di ordine superiore al II° grado:

L'accorciamento assiale dovuto all'inflessione può quindi esprimersi come:

In assenza di deformazione trasversale dovuta al taglio, l'energia potenziale dovuta all'inflessione laterale nei due piani dell'elemento può esprimersi come:

essendo EI_y e EI_z le rigidezze flessionali nei due piani dell'elemento e P lo sforzo assiale agente.

Integrando lungo l'asse dell'elemento e raggruppando, l'energia potenziale può così esprimersi:

Ponendo a zero la derivata prima dell'energia potenziale (ossia imponendo l'equilibrio come punto stazionario) si ottiene la matrice di rigidezza secante nel riferimento convected dell'elemento:

Essendo δu_i (la variazione dello spostamento nodale applicato all'i-esimo grado di libertà) arbitrario si può assumere:

Eseguendo le derivate e ordinando si ottiene:

dove

Ed analogamente per il momento torcente e lo sforzo assiale si ottiene:

essendo e=uj-ui l'accorciamento dato dalla variazione degli spostamenti terminali dell'asta.

Queste equazioni di rigidezza secante consentono di calcolare le sollecitazioni nell'elemento nel sistema convected, noto che sia il suo stato di deformazione. Per converso il punto di minimo stazionario precedente calcolato può essere un punto di minimo, di massimo o un punto di sella. Il tipo di condizione di equilibrio espresso dalle equazioni precedenti è determinato dalla derivata seconda dell'energia potenziale. Questa ci porta alla definizione della matrice di rigidezza tangente nel riferimento convected. Si avrà:

ed altre funzioni simili per ΔM_iy...ΔM_jz. Usando la notazione matriciale:

dove

e

Nell'equazione precedente K_E e K_G sono le matrici di rigidezza elastica (o lineare), che contiene le informazioni di rigidezza dovute a caratteristiche inerziali/statiche e topologiche, e di rigidezza geometrica, che tiene conto della configurazione deformata dell'elemento. Se ora indichiamo con N la matrice che consente di passare dal sistema di riferimento locale a quello convected dell'elemento:

dove:

sono le azioni nel sistema di riferimento locale e

le azioni nel riferimento convected, N è data da:

Come già visto, tramite la trasposta della matrice N si possono correlare i campi di spostamento nel riferimento locale e convected. Si può pertanto scrivere:

dove:

sono le variazioni degli spostamenti nel riferimento convected e

le correlative variazioni nel sistema di riferimento locale.

Indicando con ΔF e ΔS le variazioni delle componenti di azione interna nell'elemento, rispettivamente nel sistema di riferimento locale e convected, avremo (variando l'equazioni precedentemente scritta sulle forze):

dove ΔN è la variazione della matrice N dovuta agli spostamenti incrementali Δu. Dopo vari sviluppi (si rimanda alle pubblicazioni originali per un dettagliato ed interessante trattamento dell'argomento) si perviene alla seguente forma per l'equazione incrementale (o di rigidezza tangente) nel sistema di riferimento locale:

essendo

nella quale

Benchmark

Mensola di Loganathan

dove:

L= 400 cm

A= 42 cm²

I=6482 cm⁴

E=0.2x10⁵ KN/cm²