Elementi beam

L'elemento trave (o beam) è da sempre il più utilizzato nella modellazione strutturale nell'ambito dell'ingegneria civile. In ragione di questo fatto, il codice di calcolo mette a disposizione tre distinte tipologie di elementi non lineari. Ognuna di queste mantiene le propietà di caricamento [i] e di vincolo terminale [ii] previste dal modello elastico lineare già impiegato nel codice di calcolo lineare. Questi modelli prevedono tuttavia delle importanti varianti nel seguito riportate. In particolare, tutte le modellazioni prevedono il calcolo delle azioni globali tenendo conto della configurazione deformata in cui si trova l'elemento. A questo proposito è importante segnalare come, nel codice di calcolo, viene valutata la matrice rotazione aggiornata dell'elemento.

Matrici rotazione e loro aggiornamento

Nell'usuale analisi elastica lineare, la matrice rotazione dell'elemento trave viene calcolata una volta per tutte e, sfruttando il fatto che gli spostamenti sono piccoli, viene impiegata sia per valutare la trasformazione di coordinate dal sistema di riferimento locale al globale delle forze che degli spostamenti. Come noto dati i nodi iniziale (i) e terminale (j) ed un terzo nodo (k), non allineato con i precedenti, ad identificare la porzione del piano in cui giace l'asse y locale dell'elemento, i versori degli assi locali x,y e z dell'elemento possono calcolarsi come [iii]:

v_x = i – j

v_y,trial=k-i

v_z,trial=v_x ^ v_y,trial

v_y=v_z,trial ^ v_x

v_z=v_x ^ v_y

Questi vettori (versori) costituiscono le colonne della matrice rotazione per l'elemento nella configurazione indeformata e le modifiche apportate alla matrice rotazione dell'elemento devranno tener conto:

• dei campi di spostamento di moto rigido subiti dall'elemento
• del fatto che i campi di spostamento indotti dalle rotazioni hanno un comportamento diverso da quelli indotti dalle traslazioni (l'algebra correlativa è diversa)
• che le rotazioni possono essere non piccole.

Matrici di flessibilità e sistemi di riferimento convected

è noto che l'usuale matrice di rigidezza di un elemento trave nello spazio è 6 volte singolare. L'interpretazione fisica di ciò risiede nel fatto che la matrice stessa non compie lavoro per i campi di spostamento connessi a moti di corpo rigido (3 traslazioni e 3 rotazioni rigide). Ciò peraltro implica che:

• la matrice di rigidezza non è direttamente invertibile per ottenere la matrice di flessibilità
• vi sono 6 righe/colonne linearmente dipendenti dalle altre.

Questi due aspetti, uniti all'esigenza di trattare tutta una serie di problemi [iv] che implicano la conoscenza nel sistema di riferimento locale della matrice di flessibilità dell'asta, hanno portato a sviluppare formulazioni della matrice di rigidezza di un elemento nel sistema di riferimento locale che consentisse di:

• ottenere matrici di rigidezza/flessibilità invertibili
• lavorare in un sistema locale depurato dai moti di corpo rigido dell'elemento e quindi di ridurre il numero di variabili (forze/spsotamenti/deformazioni/ecc) coinvolte nella formulazione delle equazioni di equilibrio al numero strettamente necessario.

Nel seguito, per brevità, si tratterà il caso dell'elemento trave nel piano, il metodo è tuttavia generale e con maggiori o minori difficoltà può essere generalizzato al caso tridimensionale e ad altre tipologie di elementi finiti. Come detto occorre definire un sistema di riferimento locale in cui l'elemento risulti isostatico. Nel caso di un elemento trave nel piano sono possibili varie scelte (mensola, trave appoggiata, ecc). Quella generalmente adottata consiste nell'assumere la trave semplicemente appoggiata. Utilizzando un simile sistema di riferimento avremo che le componenti di spostamento globale saranno:

mentre le componenti di spostamento nel sistema di riferimento solidale con l'elemento potranno esprimersi come:

dove

ed l_o e l_n identificano la lunghezza iniziale e finale dell'elemento:

L'angolo α, rotazione rigida, può esprimersi come:

dove:

di conseguenza gli spostamenti nel riferimento globale possono essere legati a quelli nel riferimento locale solidale con l'elemento (convected) attraverso la matrice B ossia:

e similmente le forze nel riferimento locale sono legate a quelle nel riferimento globale dalla:

dove la matrice B vale:

Questo modo di lavorare consente di rimuovere le componenti di moto rigido nello sviluppo delle equazioni di equilibrio e quindi di lavorare con le sole componenti di spostamento/forza/deformazione significative.

Il calcolo della matrice di flessibilità dell'elemento si basa sull'utilizzo di un insieme di funzioni interpolanti il campo di forze all'interno dell'elemento. Indicando con Q il vettore delle componenti di azione esterna dell'elemento e con b(x) [v] la matrice che contiene le funzioni interpolanti il campo di forze, avremo che il campo di forze all'interno dell'elemento può essere espresso come:

Dove b(x) vale:

L'applicazione del principio delle forze virtuali fornisce la matrice di flessibilità dell'elemento come:

essendo f(x) la matrice di flessibilità della sezione per la quale è possibile scrivere [vi]:

essendo d(x) il campo di deformazioni nella sezione trasversale.

Il vantaggio di questa formulazione risiede nel fatto che le funzioni interpolanti il campo di forze nell'elemento sono indipendenti rispetto allo stato deformativo e di sollecitazione nell'elemento in quanto soddisfano l'equilibrio in senso stretto. In altre parole, anche se la sezione trasversale dell'elemento non è costante lungo il suo asse o le sezioni trasversali esibiscono un comportamento non lineare, la b(x) comunque descrive un campo di forze all'interno dell'elemento 'esatto'. Inoltre, la matrice di flessibilità così ottenuta può essere facilmente invertita per ottenere quella di rigidezza e da quest'ultima, utilizzando la matrice B può ottenersi la matrice di rigidezza standard utilizzata da tutti i codici di calcolo.

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[i] Ossia è possibile caricare l'elemento con gli stessi carichi dell'elemento elastico-lineare

[ii] Vengono mantenuti le propietà derivanti dei fixity factors terminali

[iii] avendo indicato con il simbolo ^ il prodotto vettoriale e con v_x, v_y, v_z i versori (vettori ) degli assi locali e con i, j e k i vettori contenenti le coordinate dei nodi (i), (j) e (k)

[iv] Travi a sezione variabile, formulazioni in cui è necessario conoscere nel riferimento locale la matrice di flessibilità dell'asta, ecc.

[v] è pratica corrente assumere che, in assenza di carichi sull'elemento, lo sforzo assiale sia costante ed il diagramma del momento abbia una variazione lineare.

[vi] Nel semplice caso di asta in cui l'asse geoemtrico coincide con l'asse baricentrico della sezione trasversale, la matrice di flessibilita della sezione vale: