Come detto in precedenza nell'ambito dell'analisi elastica lineare si assume che:
- il materiale sia elastico-lineare ovvero che le sue propietà dipendano da un potenziale e siano invariabili rispetto al livello di sollecitazione presente
- le equazioni di equilibrio sono formulate nella configurazione indeformata o, nel caso di strutture soggette ad uno stato di presollecitazione, in uno stato di riferimento iniziale
- le deformazioni cui è soggetta la struttura sono 'piccole' e non inflenzano in modo significativo la risposta strutturale.
Queste ipotesi consentono notevoli e, molto spesso valide, semplificazioni nell'analisi strutturale quali il disaccoppiamento fra azione assiale e momenti flettenti in una trave, ecc..
La rimozione di una o più di queste ipotesi fondamentali conduce a introdurre degli elementi di non linearità nell'analisi della struttura. La ragione per cui, usualmente, nell'ambito delle strutture civili, occorre considerare tali effetti è data da:
Effetti 'geometrici' quali:
- Imperfezioni iniziali sia dell'elemento strutturale (eccentricità iniziale di un elemento supposto rettilineo) che della struttura (fuori piombo delle strutture a telaio, ecc..)
- Effetto P-Δ globale, ovvero un incremento degli spostamenti laterali della struttura dovuto ai carichi verticali causato dal cedimento delle strutture di controventamento laterale
- Effetto p-δ locale, ovvero un incremento della deformabilità flessionale di un elemento dovuto all'azione assiale in esso presente.
Effetti 'materiali' quali:
- Deformazioni plastiche nelle strutture in acciaio
- Cracking o creep nelle strutture in calcestruzzo
- Interazioni inelastica fra sforzo assiale, momento flettente, taglio e torsione.
Effetti combinati quali:
- Deformazioni plastiche unite ad effetti P-Δ e/o p-δ
- Deformabilità delle connessioni nelle strutture in acciaio
- Deformazioni plastiche dei pannelli d'anima nei guinti trave-colonna
- Ecc..
è bene ricordare che una volta abbandonata l'analisi elastica lineare la scelta delle ipotesi di base da rimuovere non è, per così dire, indolore. Se da un lato, in generale, si perviene ad una maggiore complessitò e mole, dei calcoli da eseguire, dall'altro si ottengono risultati strettamente dipendenti dalle ipotesi di base da cui si è partiti e di conseguenza occorrerà porre particolare attenzione nella validazione dei risultati stessi.
Se, ad esempio, si prevede che le fonti di non-linearità per la struttura che analizziamo siano dovute ad effetti geometici, e quindi optiamo per un'analisi non-lineare geometrica, una volta impiegato tale metodo di analisi è essenziale controllare che il materiale rimanga in ambito elastico-lineare.
Ancora, se si prevede di affrontare il problema utilizzando un metodo non-lineare geometrico semplificato quale il metodo P-Δ, è imperativo che i cicli iterativi che portano a convergenza l'analisi siano pochi (5-6 iterazioni); se così non è occorre ampliare il campo di indagine e utilizzare metodi più sofisticati o, meglio ancora, irrigidire la struttura.
Un buon esempio dell'interazione fra questi effetti è costituito da un semplice telaio.
Fig. 1
- Utilizzando l'analisi elastica lineare il campo di spostamenti è direttamente proporzionale tramite il filtro delle rigidezze al campo di forze applicato. Non vi sono informazioni sul carico critico della struttura ne sul campo di spostamenti a collasso.
- Una prima approssimazione del carico critico Euleriano, quindi di tipo biforcativo, è offerta da un'analisi agli autovalori della struttura (Ke – λ Kg = 0) il cosidetto 'Buckling'. Questo tipo di analisi fornisce un limite superiore del carico critico e consente di ottenere oltre al valore del carico critico anche la forma delle deformate critiche (modi di sbandare del telaio) ma nessuna informazione sull'entità degli spostamenti a collasso. Alcune normative forniscono dei valori minimi del moltiplicatore del carico critico Euleriano da soddisfare, tuttavia è bene ricordare che tale limite è un limite superiore e generalmente le strutture pervengono al collasso per valori del moltiplicatore di collasso ben inferiori.
- In un'analisi elastica del II° ordine gli effetti, finiti, delle deformazioni e degli spostamenti, vengono presi in considerazione nella formulazione delle equazioni di equilibrio. In questo ambito le equazioni di equilibrio vengono scritte in configurazione deformata considerando i soli effetti delle deformazioni e spostamenti. Questo tipo di analisi fornisce una buona rappresentazione dell'effetto P-Δ senza però tener conto della non-linearità del materiale costituente la struttura. La struttura puà esibire sia un comportamento asintotico (come quello rappresentato) che biforcativo nel caso una sua parte pervenga ad un collasso parziale. In alcuni casi, molto rari e pericolosi, la struttura può manifestare un'instabilità dell'equilibrio senza che le sue singole componenti entrino in crisi per instabilità locale o si raggiunga lo snervamento del materiale. Questo fenomeno è classificato come instabilità di IIa specie e si può riscontare in cupole molte ribassate, ecc..
- In analisi elasto-plastica del I° ordine, le equazioni di equilibrio, vengono scritte nella configurazione indeformata e le zone che manifestano non-linearità materiali vengono discretizzate consentendo l'analisi della formazione di cerniere plastiche che degradano via via la rigidezza della struttura. Questo tipo di analisi risulta valido per strutture sufficientemente controventate in cui il collasso sia da imputarsi sostanzialmente al collasso del materiale. Non vi sono informazioni sull'interazione con gli effetti non-lineari geometrici se non a posteriori utilizzando raffronti con formulazioni proposte dalle vari normative (vedi EC2-EC3) o metodi semplificati quali la formula di Rankine-Merchand.
- In analisi elasto-plastica del II° ordine, le equazioni di equilibrio, vengono scritte nella configurazione deformata e le zone che manifestano non-linearità materiali vengono discretizzate consentendo l'analisi della formazione di cerniere plastiche che degradano via via la rigidezza della struttura. Questo tipo di analisi è il più complesso e consente di monitorare sia la comparsa di effetti non-lineari geometrici che non-lineari materiali. Sfortunatamente, soprattutto nelle strutture metalliche, è questo il caso più probabile in quanto una commistione dei due fenomeni è spesso la fonte delle non-linerità esibite dalla struttura.
Questi metodi di analisi, via via più complessi, non conducono a carichi critici conseguenzialmente più bassi come nella scaletta sopra riportata, ma si differenziano in funzione sia della tipologia strutturale che dei materiali impiegati e i conseguenti metodi di analisi vanno utilizzati con cognizione di causa.