Per un insieme di aste in legno a sezione variabile è disponibile un procedimento di calcolo del carico critico di instabilità per azione assiale.
Il procedimento provvede a calcolare, con un'interpolazione lineare, le dimensioni delle sezioni trasversali di estremità di ogni concio a partire dalla dimensione della sezione di campata del corrispondente concio.
Il carico critico viene individuato imponendo una imperfezione sinusolidale iniziale pari a e0=L/500 alla trave in semplice appoggio ed incrementando il valore dell'azione assiale P fino a raggiungere una configurazione irrisolvibile del sistema.
Il procedimento corrisponde con quello standard introdotto dall'EC3 per le travi a sezione variabile.
Essendo la trave a sezione variabile, la matrice di rigidezza dei vari conci viene valutata via integrazione.
Si assume una trave alla Timoshenko nel sistema convected con le relazioni cinematiche conseguenti.
In configurazione deformata:
L'equilibrio in forma differenziale:
dove qx e qy sono i carichi distribuiti eventualmente presenti.
Imponendo le condizioni al contorno su una trave in semplice appoggio:
l'equazione differenziale risolutiva può scriversi:
dove
corrisponde al vettore delle forze e
è la matrice di interpolazione delle forze.
La relazione tra deformazioni ed azioni nella generica sezione può scriversi come:
essendo
la matrice di rigidezza della sezione con E modulo elastico, G modulo di elasticità tangenziale, As area a taglio (As= A/χ), χ fattore di taglio della sezione.
Invertendo la relazione di s(x) si può ottenere la relazione delle deformazioni nella sezione in funzione delle azioni:
essendo
Infine, impiegando il principio dei lavori virtuali, si desume la relazione fra deformazioni ed azioni nelle sezioni terminali della trave:
dove
corrisponde alla matrice di flessibilità della trave da cui è possibile ottenere, per inversione, la matrice di rigidezza K=f-1.
Il procedimento di calcolo del carico critico Pcr considera i seguenti passi:
- calcolo del carico PcrBernoulli
- calcolo del carico PcrTimoshenko
- calcolo del carico assiale iniziale dPcr= min(PcrBernoulli, PcrTimoshenko)/10
- si scala il carico critico dPcr man mano che il sistema non raggiunge la convergenza
essendo
- PcrBernoulli
- carico critico per intabilità Euleriana
- PcrTimoshenko
- carico critico per instabilità Euleriana tenendo conto della deformabilità tagliante
Si ottiene così una curva di carico di tipo asintotico:
che solitamente non coincide con quella ottenibile utilizzando il metodo duale delle forze equivalenti trasversali.
L'analisi è condotta considerando solo gli effetti geometrici non lineari dovuti alla variazione della geometria deformata del modello per cui l'equilibrio è costruito nella configurazione deformata ma le proprietà (Ke) dei singoli elementi trave presenti nel modello rimangono costanti. Il procedimento risulta perfettamente in linea con gli scopi dell'analisi da condursi.