Massa modale efficace

La formulazione dell'analisi della risposta sismica di un sistema dissipativo MDOF, come quello di figura, può essere ottenuta considerando il seguente sistema di equazioni del moto in forma matriciale:

[M]{X^"}_t + [C]{X^'} + [K]{X} = 0

dove {X}_t indica il vettore spostamento totale della struttura rispetto ad un sistema di riferimento inerziale mentre {X} indica il vettore spostamento relativo della struttura rispetto ad un sistema di riferimento solidale con il piede della struttura; gli altri simboli coincidono con quanto visto nel precedente paragrafo.

Fig. 1 Definizione del sistema di riferimento inerziale: X_t = X_G +X_i

L'effettiva forza sismica può essere valutata esprimendo lo spostamento totale {X}_t come la somma di quello relativo {X} più quello del suolo X_G (è uno scalare)

{X}_t = {X} + {1} X_G

dove {1} corrisponde ad un vettore con gli elementi tutti pari ad 1.

Sostituendo questa relazione in quella che esprime l'equazione del moto e trascurando il contributo delle forze dissipative si ha

[M]{X^"} + [K]{X} = -[M]{1} X^"_G(t)

In un'analisi della risposta sismica di strutture lineari è consueto l'uso di trasformazioni in coordinate generalizzate in quanto il moto del suolo tende ad eccitare fortemente solo i più bassi modi di vibrare e spesso si ottengono buoni approssimazioni del risultato teorico di sistemi con dozzine o centinaia di gradi di libertà analizzando solo pochi modi di vibrare.

In tale ottica lo spostamento totale della j-esima massa è considerata come la somma di quelli modali e cioè:

X_j = φ₁ Z₁ + φ₂ Z₂ + ...+ φ_n Z_n

per cui la trasformazione adottata è (come visto nel paragrafo precedente)

{X} = [Φ]{Z} e {X"} = [Φ]{Z"}

Così sostituendo si giunge a:

[M][Φ]{Z"} + [K][Φ]{Z} = -[M]{1} X"_G(t)

Premoltiplicando per l'n-esimo vettore di forma modale trasposto {Φ}_n^T e tralasciando il segno negativo diventa:

{Φ}_n^T [M][Φ]{Z"} + {Φ}_n^T [K][Φ]{Z} = {Φ}_n^T [M]{1} X"_G(t)

da cui per le proprietà di ortogonalità della matrice delle masse e di rigidezza si giunge all'equazione disaccoppiata dell'n-esimo modo di vibrare:

M_n Z"_n + K_n Z_n = P_n(t)

dove:

M_n = {Φ}_n^T [M]{Φ}_n

massa generalizzata in coordinate normali;

K_n = {Φ}_n^T [K]{Φ}_n

rigidezza generalizzata in coordinate normali;

P_n(t) = {Φ}_n^T [M]{1} X"_G(t)

forzante generalizzata in coordinate normali;

Z_n

coefficiente di amplificazione della risposta modale n.

La forzante modale generalizzata P_n(t) = L_n X"_G(t) considera il fattore di partecipazione L_n = {Φ}_n^T [M]{1}.

Pertanto la risposta di ciascun modo del sistema MDOF è data da:

Z_n = V_n(t) L_n / (M_n ω_n)

dove V _n(t) corrisponde all'integrale di Duhamel.

Il vettore degli spostamenti relativi generato dal modo n viene determinato come il prodotto tra il vettore di forma ed il coefficiente amplificativo corrispondenti al modo n:

{X}_n = {Φ}_n Z _n = {Φ}_n V_n(t) L_n / (M_n ω_n)

ed il vettore degli spostamenti relativi finale viene ottenuto per sovrapposizione modale come descritto in apertura:

{X} = [Φ]{Z(t)} = [Φ]{V _n(t) L_n / (M_n ω_n)}

Le forze elastiche associate con gli spostamenti relativi possono essere ottenute direttamente con la premoltiplicazione della matrice di rigidezza:

{f_S(t)} = [K][Φ]{Z(t)}

Spesso è più conveniente esprimere queste forze in termini di forze di inerzia equivalenti calcolate attraverso la soluzione delle vibrazioni libere senza dissipazioni del problema generalizzato. L'equivalenza tra le forze elastiche e quelle inerziali è espressa dalla relazione del problema agli autovalori:

[M][F][ω²] - [K][Φ] = 0

per cui l'espressione delle forze elastiche diventa:

{f_S(t)} = [M][Φ][ω²]{Z(t)} = [M][Φ]{ω_n V_n(t) L_n / M_n}

ed il vettore delle forze elastiche associato a ciascun modo di vibrare è:

{f_S(t)}_n = [M]{Φ}_n ω_n V _n(t) L_n / M_n

È da evidenziare che l'espressione individuata è di carattere generale per la determinazione delle forze elastiche in un sistema smorzato soggetto ad un'accelerazione variabile del suolo. Il fatto che sia stata ricavata per le vibrazioni libere non smorzate non limita la sua applicabilità.

Quando la distribuzione di queste forze elastiche effettive in qualsiasi istante t durante il terremoto è stata determinata, come illustrato in figura, il valore di qualsiasi forza risultante nello stesso istante può essere valutato con procedure statiche standard. Per esempio, la forza di taglio alla base della struttura T₀(t) è data dalla somma di tutte le forze di piano cioè:

T₀(t) = Σ_i f_Si(t) = {1}^T {f_S(t)} con i = 1, 2, ..., n

dove {1}^T è un vettore riga con tutti gli elementi pari ad 1.

Sostituendo l'espressione del vettore {f_S(t)} precedentemente indicata si ottiene:

T₀(t) = {1}^T [M][Φ]{ω_n V_n(t) L_n / M_n} = Σ_i (ω_i V_i(t) L_i²/M_i)

con i = 1, 2, ..., n

Allo stesso modo il momento risultante valutato alla base dell'edificio vale:

M₀(t) = Σ_i d_i f_Si(t) = [d]{f_S(t)} con i = 1, 2, ..., n

in cui d_i è l'altezza della massa i dalla base della struttura e [d] è un vettore riga di queste altezze. Sostituendo ancora l'espressione del vettore {f_S(t)} si trova:

M₀(t) = [d][M][Φ] { ω_n V_n(t) L_n / M_n }

La quantità L_i²/M_i incontrata nell'espressione di T₀(t) ha la dimensione di una massa e viene chiamata Massa Modale Efficace della struttura perchè essa può essere interpretata come la parte della massa totale eccitata dal sisma in ciascun modo. Questa interpretazione risulta valida solo per strutture con masse concentrate lungo un asse verticale come quella di figura. Per strutture di questo tipo la massa totale vale:

M_T = {1}^T [M]{1}

Si dimostra che la somma di tutte le masse modali effettive è uguale alla massa totale esprimendo il vettore {1} in coordinate modali:

{1} = [Φ]{Z}

dove ciascun amplificatore Z_n può essere determinato moltiplicando entrambi i lati dell'espressione per {Φ}_i^T [M] ed applicando la relazione di ortogonalità delle masse:

{Φ}_i^T [M]{1} = {Φ}_i^T [M][Φ]{Z}

equivalente a:

L_i = M_i Z_i

per cui {Z} = {Li/Mi} e quindi:

{1} = [Φ] {L_i/M_i}

Così sostituendo nell'espressione del calcolo della massa totale si ha:

M_T={1}^T[M][Φ]{L_i/M_i}=[L₁, L₂, ..., L_n]{L_i/M_i}=Σ_i(L_i²/M_i)  c.v.d.

Questa formulazione, generalmente assunta per telai piani, può estendersi al caso spaziale. In questo caso considerando la generica direzione di ingresso del sisma la Massa Modale Totale risulta pari a:

M_Tα={I}^T [M]{I}

con {I} vettore di trascinamento

e la massa modale efficace sviluppata dall'i-esimo modo (supposti gli autovettori M-OrtoNormalizzati):

M_iα=L_iα²

In output di stampa vengono riportati, per ogni direzione di ingresso del sisma j e per ogni modo di vibrare i:

• Fattore di partecipazione g_ij.
• Rapporto, in percentuale, fra il fattore di partecipazione del primo modo considerato ed il generico modo =100 (g_ij/g_1j).
• Massa modale efficace ralativa all'i-esimo modo Em_ij=L_ij²/M_ij.
• Rapporto, percentuale, fra la massa modale efficace dell'i-esimo modo e la massa modale efficace totale =100 (Em_ij / Em_Totj).
• La percentuale, cumulativa, della massa modale considerata sommando via via i contributi dovuti ai singoli modi di vibrare =100 Σ_i(Em_ij / Em_Totj) (per un'analisi dinamica completa questo valore tende al 100 %).