Analisi dinamica

L'attuale versione del programma di calcolo permette di eseguire:

1. L'analisi statica equivalente.
2. L'analisi per sovrapposizione modale indirizzata ad edifici multipiano con condensazione di piano.
3. L'analisi per sovrapposizione modale con masse concentrate nei nodi.
4. L'analisi dinamica con applicazione delle azioni di piano per strutture prefabbricate, come descritto nel Decreto Ministeriale del 3 Dicembre 1987 riguardante le "Norme tecniche per la progettazione, esecuzione e collaudo delle costruzioni prefabbricate".

Numero di Autovettori in Soluzione

In un'analisi con condensazione degli spostamenti di piano vengono individuati 3n modi di vibrare, con n uguale al numero di impalcati rigidi, mentre in un'analisi modale con le masse concentrate nei nodi il numero di modi individuabile è influenzato dalla quantità di RAM allocabile dal CodeCal.

Analisi Statica Equivalente

Questo tipo di analisi (statica lineare) viene svolto da WinStrand sia sotto l'ipotesi di solai infinitamente rigidi (situazione d'uso tipica) che in sua assenza (vedi anche in questo capitolo la sezione Definizione del tipo di Calcolo).

Le coordinate del centro di massa di piano e le caratteristiche inerziali dei solai vengono determinate con il comando Calcola masse (Pre-Processore - Calcolo).

Il calcolo delle azioni di piano Fx, Fy, Mt considera i seguenti parametri:

C

Coefficiente di intensità sismica.

R

Coefficiente di Risposta (sempre pari a R(T), con T compreso tra Ta e Tb nel diagramma dello spettro di risposta. Nel D.M. 96, per esempio, questo valore costante è pari ad 1).

ε

Coefficiente di fondazione

β

Coefficiente di struttura

γ _i

Coefficiente di distribuzione delle azioni sismiche

I

Coefficiente di Protezione Sismica

G_i

Σ dei pesi propri relativo al piano i-esimo

s

Coefficiente di riduzione dei sovraccarichi

Q_i

Massimo sovraccarico accidentale del piano i-esimo

le forze orrizzontali alla generica quota vengono calcolate come:

F_i = Kh_i W_i

dove:

Kh_i = C R ε β γ _i I

W_i = G_i + s Q_i

γ _i = h_i ( Σ _j W_j) / ( Σ _j W_j h_j) con j = 1, 2, 3, ...., n

dove h_i è la quota del piano i-esimo rispetto allo spiccato delle fondazioni (da porre a quota z=0) ed n è il numero di solai nel modello.

Tali azioni vengono applicate automaticamente dal programma nel baricentro delle masse di piano per cui, una eccentricità fra il centro di massa ed il centro di rigidezza, induce automaticamente una coppia torcente di piano.

Inoltre, se D e B indicano le dimensioni massime in pianta dell'edificio, nel caso il rapporto D/B sia maggiore di 2.5 viene applicato all'impalcato una coppia torcente aggiuntiva pari a:

Δ Mt_i = λ D Σ _j F_j con j = i,...., n

dove:

per 2.5 < D/B < 3.5 : λ = 0.03 + 0.02 (D/B - 2.5)

per D/B > 3.5 : λ = 0.05

Fig. 1 Diagramma per la valutazione del parametro λ.

In caso di elaborazione di un'analisi dinamica via statica equivalente di un modello privo di impalcati infinitamente rigidi, il CodeCal segnala l'opportunità di procedere ugualmente. Nel caso affermativo, si valutano le masse nodali con cui procedere alla individuazione delle azioni dinamiche sui singoli nodi. Non si tiene conto in questa valutazione del Coefficiente di distribuzione γ _i indicato al punto C.6.1.1 delle "Norme tecniche per le costruzioni in zone sismiche" (D.M. 16 genaio 1996).

Analisi Modale

Per l'analisi sismica l'equilibrio dinamico della struttura è descritto dal sistema di equazioni differenziali del secondo ordine:

[ M ] {X^"} + [ C ] {X'} + [ K ] {X} = -[ M ] {Y^" _G} Eq.1

dove:

[M]

Matrice delle Masse (quadrata di ordine n)

[C]

Matrice di Smorzamento (quadrata di ordine n)

[K]

Matrice di Rigidezza elastica (quadrata di ordine n)

{X^"}

Vettore delle Accelerazioni relative struttura-suolo

{X'}

Vettore delle Velocità relative struttura-suolo

{X}

Vettore degli Spostamenti relativi struttura-suolo

{Y^'' _G}

Vettore dell'Accelerazione impressa al suolo

Considerando che in genere le forze dissipative, decisive nei confronti della risonanza, sono trascurabili ed hanno scarsa influenza sui valori delle frequenze proprie, l'equazione del moto si semplifica nella seguente espressione:

[ M ] {X^"} + [ K ] {X} = -[ M ] {Y^" _G} Eq.2

impiegata nel caso di strutture generiche con masse concentrate associate ai gradi di libertà generici (lumped mass).

Il calcolo degli autovettori ed autovalori viene svolto facendo uso dell'algoritmo noto come Subspace Iteration, il cui svolgimento è riportato in diverse pubblicazioni , . Il comando và alla ricerca dei primi modi di vibrare aventi il maggior periodo proprio T, quelli che impiegano poca energia per deformare la struttura.

Ottenute le soluzioni dall'equazione delle frequenze (autovalori):

([ K ] - ω ² [ M ]) {X} = {0} Eq.3

si ha il vettore delle frequenze degli m modi di vibrare:

{ ω } = { ω ₁, ω ₂, ω ₃,..., ω _m }^T Eq.4

con cui si determinano gli m autovettori corrispondenti:

{ Φ }_i = { φ ₁, φ ₂, φ ₃, ..., φ _n }_i ^T con i = 1, 2, ..., m Eq.5

Gli m modi di vibrare {Φ} _i sono normalizzati rispetto alla matrice delle masse in modo che:

[ Φ ]^T [ M ] [ Φ ] = [ I ] Eq.6

dove:

[ Φ ] = { { Φ }₁, { Φ }₂, { Φ }₃, ..., { Φ }_m }

da cui deriva che

[ Φ ]^T [ K ] [ Φ ] = [ ω ² ] Eq.7

dove [I] è la matrice identità e [ω ²] è la matrice spettrale (diagonale) delle frequenze naturali.

Noti i modi di vibrare della struttura è possibile trasformare il sistema di coordinate normali in quello generalizzato tramite la:

{X_(t)} = [ Φ ] {Z_(t)} Eq.8

in cui

{Z_(t)}^T ={ Z₁, Z₂, Z₃, .., Z_m } vettore coordinate generalizzate.

Sostituendo la 8 nell'equazione 2, e premoltiplicando questa per [Φ]^T, si giunge alle equazioni disaccoppiate del moto (matrice delle rigidezze e delle masse diagonali) sfruttando le proprietà della 6 e 7:

{Z^"} + [ ω ² ] {Z} = [ Φ ]^T [ M ] {Y^" _G} Eq.9

posto che sia e tralasciando il segno negativo

{Z^''} vettore derivate seconde rispetto al tempo delle coordinate generalizzate.

L'integrazione della Eq.9 può essere eseguita con l'integrale di Duhamel oppure impiegando il metodo delle differenze finite però, tenendo in considerazione che, per la maggior parte delle tipologie strutturali considerate in campo civile, bastano pochi modi di vibrare per descrivere lo stato deformativo della struttura, si evita l'oneroso computo della [ Φ ] globale.

D'altro canto, per la verifica strutturale è richiesto il valore massimo dello stato di deformazione e sollecitazione per cui, al fine di diminuire l'onere dell'analisi dinamica, le normative Internazionali, in generale, e quella Italiana, in particolare, propongono l'uso di appropriati spettri di risposta di progetto.

In questo caso la Eq 9 può essere riscritta:

{Z^"} + [ ω ² ] {Z} = [ Φ ]^T {P} a(t) Eq.10

dove:

{P} = {m_i cos( α ), m_i sin( α ), Jp, ....} con α angolo di ingresso del sisma.

a(t) = g C ε β I R(T) accelerazione massima del terreno in funzione del periodo corrispondente della struttura per ogni modo di vibrare (spettro di risposta).

Dalla Eq. 10 si ha che la massima risposta, in termini di spostamento in coordinate generalizzate, è data da:

Z_i,max = ( [ Φ ]^T {P} a(t) ) / ω ² _i Eq.11

per ogni singolo modo di vibrare i e gli spostamenti in coordinate globali diventano

{X}_i = Z_i,max { Φ }_i Eq.12

Calcolati gli spostamenti {X}_i per ogni modo di vibrare, si risale alle relative sollecitazioni S_i le quali sommate in quadratura:

Eq.13

con i = 1, 2, 3, ..., m

forniscono la sollecitazione di progetto Sp. Và rilevato che il modo di calcolare la generica sollecitazione Sp fornito dall'Eq. 13 adottato dal regolamento italiano e noto in letteratura come SRSS (Square Root of Sum of Squares), non è univoco. Molte normative, ad esempio l'EC8, consigliano, qualora i modi di vibrare considerati per la generica direzione d'ingresso del sisma siano fra loro vicini (in particolare l'EC8 4.2.1.3. consiglia di usare questo metodo alternativo qualora la differenza percentuale fra le frequenze sia inferiore al 10%) di utilizzare in luogo della formula SRSS la formula nota in letteratura come CQC (Complete Quadratic Combination). Questa seconda formulazione si traduce nel calcolare la generica grandezza Sp con la formula:

Eq.14

Essendo al solito S_i la generica grandezza relativa all'i-esimo modo di vibrare ed:

Eq.15

essendo ξ il coefficente di smorzamento (generalmente assunto pari 0.05 (5%) per strutture in acciaio 0.10 (10%) per strutture in C.A.) e:

Eq.16

Rilevato che la formulazione CQC tende alla SRSS qualora i modi di vibrare siano fra loro scorrelati (i termini r_ii→1 e r_ij→0), và segnalato viceversa il fatto che qualora i modi siano vicini le grandezze ottenute con la formulazione CQC possono risultare maggiori fino al 30-40 % rispetto a quelle calcolate con la SRSS. Nel codice di calcolo l'uso di questa formulazione è facoltativo e governato dall'apposito radio button presente nel dialogo di Setup del CodeCal.

Il codice di calcolo utilizza, per ogni direzione d'ingresso del sisma, il numero massimo di modi di vibrare compatibilmente con la disponibilità di memoria centrale fornita dal calcolatore.

A questo proposito è da rilevare che in generale, se n è il numero di gradi di libertà cui è associata massa, il numero di modi di vibrare (e quindi il numero di periodi) della struttura è n. Quindi un'analisi dinamica completa richiede il calcolo di n modi di vibrare. Questo fatto si scontra però con le effettive possibilità di calcolo offerte dai computers utilizzabili in quanto hanno da un lato quantità di memoria finita, dall'altro introducono degli errori di arrotondamento che diventano significativi soprattutto quando si tenta di calcolare i modi ad alta frequenza della struttura. Per questa ragione il codice di calcolo individua, in generale, solo un sottoinsieme dei modi di vibrare della struttura ed in particolare i primi ovvero quelli che richiedono meno energia per essere attivati. In generale la strategia adottata nel codice di calcolo è la seguente:

• Viene calcolato sempre il massimo numero di modi di vibrare compatibile con la struttura e le disponibilità di memoria presenti sul computer che si utilizza.
• Per una assegnata direzione di ingresso del sisma vengono calcolati i fattori di partecipazione relativi agli n modi di vibrare individuati

• dove I è il cosiddetto vettore di trascinamento.
• Gli autovettori vengono riordinati per |g_i α | decrescenti.
• Vengono individuati gli n autovalori da utilizzare in soluzione scelti in modo che abbiano i massimi valori di |g_i α |ovvero i primi n modi precedentemente riordinati.

Va rilevato che usando questa tecnica in generale si potranno utilizzare, per una certa direzione di ingresso α del sisma, i modi di vibrare che vengono addirittura scartati per un'altra direzione di ingresso.