Elemento trave su suolo elastico

Matrice di Rigidezza dell'asta su Terreno alla Winkler

Per schematizzare le travi su suolo alla Winkler viene impiegata la matrice di rigidezza riportata in .

Seguendo tale definizione della matrice di rigidezza, posto:

B = [k/(4EJ)] essendo k la costante di sottofondo;

δ = Bl

Φ₀(x) = cos(Bx)cosh(Bx)

Φ₁(x) = ½[sin(Bx)cosh(Bx) + cos(Bx)sinh(Bx)]

Φ₂(x) = ½[sin(Bx)sinh(Bx)]

Φ₃(x) = ¼[sin(Bx)cosh(Bx) - cos(Bx)sinh(Bx)]

D = Φ₂(δ)Φ₂(δ) - Φ₁(δ)Φ₃(δ)

e con le convenzioni su tagli e momenti della figura seguente

i termini flessionali della matrice di rigidezza risultano:

K(1,1) = B³EJ[ 4Φ₂(δ)Φ₃(δ) + Φ₀(δ)Φ₁(δ) ]/D

K(2,1) = B²EJ[Φ₀(δ)Φ₂(δ) + 4Φ₃(δ)Φ₃(δ) ]/D

K(2,2) = BEJ[ Φ₁(δ)Φ₂(δ) - Φ₀(δ)Φ₃(δ) ]/D

K(3,1) = 4B³EJΦ₁(δ) - 4BΦ₃(δ) - K(1,1)Φ₀(δ)

K(3,2) = 4B²EJΦ₂(δ) + K(2,1)Φ₀(δ) - K(1,1)Φ₁(δ)/B

K(3,3) = K(1,1)

K(4,1) = -K(3,2)

K(4,2) = -4BEJΦ₃(δ) - K(2,2)Φ₀(δ) + K(2,1)Φ₁(δ)/B

K(4,3) = -K(2,1)

K(4,4) = K(2,2)

Si è utilizzata questa modellazione perchè fornisce in modo diretto i vari termini di rigidezza della trave senza procedere per inversione della matrice di flessibilità ma semplicemente utilizzando l'integrale della linea elastica ed imponendo, di volta in volta, gli spostamenti unitari e ricavandone le azioni correlative.

La matrice che ne risulta ha sei gradi di libertà (3 per nodo) e tiene conto esclusivamente delle azioni flesso-taglianti nel piano verticale della trave e del momento torcente.

Le restanti azioni di tipo assiale e flessionale agenti nel piano orizzontale, non vengono prese in considerazione.

Pertanto è necessario vincolare i nodi di estremità della trave alla traslazione nel piano X-Y globale ed alla rotazione attorno all'asse Z globale.

Problemi di interazione suolo-struttura in direzione orrizzontale possono essere realizzati mediante l'introduzione di elementi molla equivalenti.

L'ipotesi di suolo alla Winkler costituisce, per sua natura, un vincolo traslazionale bilaterale per la trave. In realtà non è ammissibile la presenza di zone di terreno in trazione in quanto in tale circostanza l'ipotesi di vincolo bilaterale non troverebbe riscontro fisico.

Convenzioni Segni Sollecitazioni

La terna di riferimento, sia locale che generale, è destrorsa e, pertanto, si hanno le seguenti convenzioni sui segni delle sollecitazioni di estremità:

Tagli nel Piano x-y Locale

S¹ = T_ixy

Positivo se concorde con y locale.

S² = T_jxy

Positivo se concorde con y locale.

Momenti Torcenti

S³ = M_izy

Positivo se l'asse vettore è concorde con l'asse x locale.

S⁴ = M_jzy

Positivo se l'asse vettore è concorde con l'asse x locale.

Momenti nel Piano x-y Locale

S⁵ = M_ixy

Positivo se l'asse vettore è concorde con l'asse z locale.

S⁶ = M_jxy

Positivo se l'asse vettore è concorde con l'asse z locale.