Il metodo degli elementi finiti nasce dalla necessità di approssimare le equazioni differenziali, che governano lo stato di un sistema continuo, con un sistema di equazioni algebriche in un numero finito di incognite. In quest'ottica, la discretizzazione del continuo è il primo passo e consiste nel suddividerlo in sottodominii, detti elementi finiti, e di scegliere dei punti di contatto, detti nodi strutturali, tra elementi contigui o all'interno degli elementi stessi.
Le misure degli spostamenti nodali (metodo degli spostamenti) o delle forze nodali (metodo duale delle forze) sono assunte come incognite del problema e le equazioni algebriche risolventi sono generate impiegando, in generale, un principio variazionale. Impostato così il problema, è evidente che un elemento finito non è che un modello matematico atto a simulare il comportamento della struttura reale e, data la discrezionalità con la quale si procede alla discretizzazione del continuo, è altresì evidente che, per una stessa struttura, si possono creare più modelli, ognuno con un proprio grado di affidabilità anche in relazione allo specifico problema in esame. Ad esempio una trave può schematizzarsi con un singolo elemento beam, con più elementi beam in serie ovvero con una mesh di elementi piani o solidi in funzione del tipo di problema studiato (calcolo delle azioni interne, ricerca delle concentrazioni di tensione in corrispondenza degli appoggi, trasferimento del calore, ecc...). La facilità con cui gli algoritmi di calcolo derivanti da tali metodi possono essere automatizzati, unitamente alla disponibilità di elaboratori in grado di risolvere i sistemi di equazioni ad essi associati, ha dato un forte impulso alla ricerca in questo settore dell'ingegneria. Oggi, infatti, abbiamo a disposizione una grande varietà di elementi finiti ognuno dei quali dotato di particolari proprietà ed in grado di adattarsi meglio allo specifico problema.
Tuttavia, un elemento finito è "classificabile" in base a:
- la sua geometria (x,y,z);
- il campo di spostamenti che copre (v);
- il legame deformazioni-spostamenti ε=f(v) che adotta;
- la legge costitutiva del materiale che è in grado di approssimare σ = g(ε).
Dal punto di vista della geometria si hanno, infatti, a disposizione elementi:
- puntuali (elementi boundary, plinti di fondazione, ecc.)
- lineari (elementi biella, trave, ecc.)
- superficiali (triangolari CST, LST, quadrangolari, isoparametrici a 4/8 nodi, ecc.)
- solidi (elementi brick a 8/21 nodi, tetraedrici o esaedrici a facce piane o curve ecc.).
Per quanto riguarda gli spostamenti, si hanno elementi in grado di coprire tutte le sei componenti di spostamento nodale (ad es. gli elementi beam) oppure solo alcune di esse (come le tre componenti di traslazione per gli elementi biella).
Infine si ha una notevole diversificazione, anche per lo stesso tipo di modello, considerando il legame spostamenti- deformazioni che l'elemento finito è in grado di approssimare (introduzione della matrice di rigidezza geometrica in problemi di non linearità geometrica) oltre alla capacità dell'elemento stesso di seguire la legge costitutiva del materiale (problemi di non linearità materiale).
Da quanto detto è chiaro che la modellazione della struttura con il metodo degli elementi finiti costituisce un campo di indagine vastissimo. In questa sede, tuttavia, più che approfondire l'analisi del singolo problema o elementi finiti intendiamo soffermarci su alcuni aspetti di carattere generale, spesso trascurati, che viceversa, dovrebbero essere tenuti ben presenti da chi utilizza tale metodo di calcolo.
Discretizzare
Iniziamo col dire che un modello agli elementi finiti è un modello matematico che simula il comportamento di una generica struttura reale mediante una specifica discretizzazione in n sottostrutture di tipo predefinito; l'assemblaggio dei modelli di ciascuna sottostruttura ottenuta conduce al modello globale.
Questa operazione di discretizzazione della struttura implica due scelte fondamentali:
- la scelta dell'elemento finito che meglio si adatta allo specifico problema in esame;
- la scelta del numero e della disposizione topologica degli elementi finiti all'interno della struttura stessa.
Infatti, la scelta di un elemento inadatto a simulare un certo comportamento strutturale può vanificare l'accuratezza impiegata nella scelta di una appropriata mesh e, viceversa, pur avendo soddisfatto la prima condizione, si possono commettere notevoli errori discretizzando la struttura in maniera grossolana, o comunque impropria. Classico esempio di errore relativamente all'impiego di un elemento finito è il caso della modellazione di una trave tozza per la quale non si impieghi un elemento beam che includa la deformabilità a taglio della trave stessa, oppure di una platea di fondazione spessa per la quale non si utilizzi un elemento bidimensionale che tenga conto della deformabilità a taglio della lastra.
Relativamente alla seconda scelta, va ricordato che, soprattutto in problemi bidimensionali, non solo l'aumento del numero di elementi nella mesh garantisce, entro certi limiti, l'incremento della precisione dei risultati ottenuti dal calcolo ma anche la disposizione topologica degli elementi ha un notevole grado di influenza. È noto, ad esempio, il caso di una piastra discretizzata con una mesh di elementi bidimensionali, come nel caso A) di figura, per cui si ottengono risultati accurati se sottoposta ad un carico uniformemente distribuito ed imprecisi se sottoposta ad un carico concentrato nel centro.
Fig. 1 Disposizione degli elementi finiti: il modello B) è quello che meglio si presta ad una corretta modellazione nel caso di forza concentrata applicata al centro della piastra.
Da quanto detto si evince che:
- prima di utilizzare un elemento finito è bene comprenderne appieno le proprietà e soprattutto i limiti di impiego, in quanto un elemento finito non è di per se stesso un modello esaustivo della realtà che si vuole simulare ma solo un modello approssimato che può essere utilmente impiegato a seconda dei casi che si presentano.
- soprattutto in problemi bidimensionali o tridimensionali, è bene sondare la validità del modello, sia aumentando il numero di elementi impiegati, sia variando la disposizione degli elementi nella mesh anche in funzione delle condizioni di carico cui è soggetta la struttura.
Va ricordato inoltre che, una volta discretizzata la struttura e definito il modello, esso, anche se impreciso deve rispondere alle leggi fondamentali di conservazione dell'equilibrio e della congruenza per cui, anche se, ad esempio, la freccia di una trave non è uguale a quella calcolata in forma chiusa, le reazioni agli appoggi devono fare equilibrio al carico agente e vi deve essere continuità nella linea elastica. In sostanza, qualunque sia il modello matematico che si è impiegato per analizzare una struttura è sempre bene controllare i risultati sia facendo riferimento a semplici calcoli di equilibrio fra carichi agenti e reazioni ai nodi, sia utilizzando sistemi semplificati di calcolo verificabili anche manualmente (e ciò vale soprattutto in strutture complesse in cui aumenta la possibilità di commettere errori in fase di definizione sia del modello che dei carichi cui è assogettato). Solitamente i metodi semplificati trascurano la deformabilità assiale dei pilastri il che fa nascere "ragionevoli dubbi" circa i risultati di un calcolo agli elementi finiti su una struttura a telaio con pilastri snelli e luci importanti. Tuttavia tali metodi rivestono una importanza fondamentale ai fini del controllo dei risultati ottenuti utilizzando il metodo degli elementi finiti in quanto costituiscono l'unico mezzo di paragone e confronto di affidabilità dei risultati stessi.