Carico critico di un'asta a sezione variabile

Per un insieme di aste in legno a sezione variabile è disponibile un procedimento di calcolo del carico critico di instabilità per azione assiale.

Il procedimento provvede a calcolare, con un'interpolazione lineare, le dimensioni delle sezioni trasversali di estremità di ogni concio a partire dalla dimensione della sezione di campata del corrispondente concio.

Il carico critico viene individuato imponendo una imperfezione sinusolidale iniziale pari a e0=L/500 alla trave in semplice appoggio ed incrementando il valore dell'azione assiale P fino a raggiungere una configurazione irrisolvibile del sistema.

Il procedimento corrisponde con quello standard introdotto dall'EC3 per le travi a sezione variabile.

Essendo la trave a sezione variabile, la matrice di rigidezza dei vari conci viene valutata via integrazione.

Si assume una trave alla Timoshenko nel sistema convected con le relazioni cinematiche conseguenti.

In configurazione deformata:

L'equilibrio in forma differenziale:

dove qx e qy sono i carichi distribuiti eventualmente presenti.

Imponendo le condizioni al contorno su una trave in semplice appoggio:

l'equazione differenziale risolutiva può scriversi:

dove

corrisponde al vettore delle forze e

è la matrice di interpolazione delle forze.

La relazione tra deformazioni ed azioni nella generica sezione può scriversi come:

essendo

la matrice di rigidezza della sezione con E modulo elastico, G modulo di elasticità tangenziale, As area a taglio (As= A/χ), χ fattore di taglio della sezione.

Invertendo la relazione di s(x) si può ottenere la relazione delle deformazioni nella sezione in funzione delle azioni:

essendo

Infine, impiegando il principio dei lavori virtuali, si desume la relazione fra deformazioni ed azioni nelle sezioni terminali della trave:

dove

corrisponde alla matrice di flessibilità della trave da cui è possibile ottenere, per inversione, la matrice di rigidezza K=f-1.

Il procedimento di calcolo del carico critico Pcr considera i seguenti passi:

essendo

PcrBernoulli
carico critico per intabilità Euleriana
PcrTimoshenko
carico critico per instabilità Euleriana tenendo conto della deformabilità tagliante

Si ottiene così una curva di carico di tipo asintotico:

che solitamente non coincide con quella ottenibile utilizzando il metodo duale delle forze equivalenti trasversali.

L'analisi è condotta considerando solo gli effetti geometrici non lineari dovuti alla variazione della geometria deformata del modello per cui l'equilibrio è costruito nella configurazione deformata ma le proprietà (Ke) dei singoli elementi trave presenti nel modello rimangono costanti. Il procedimento risulta perfettamente in linea con gli scopi dell'analisi da condursi.