Elementi Piani

Generalità

Nel seguito con la dizione Lastra si intenderanno gli elementi bidimensionali sottoposti a carichi agenti nel proprio piano, come ad esempio le travi parete, mentre con la dizione Piastra si intenderanno gli elementi bidimensionali sottoposti a carichi agenti normalmente al proprio piano, come ad esempio le platee di fondazione. Nel seguito, ai fini di una trattazione più lineare, benché gli elementi a 3, 4 ed 8 nodi a disposizione sviluppino sia un comportamento a piastra che a lastra, questi due modi di utilizzazione saranno trattati separatamente. Per entrambi i comportamenti la forma degli elementi a 4 o 8 nodi è libera nel senso che il contorno è poligonale e non necessariamente quadrato o rettangolare anche se come si vedrà è bene non eccedere deformando eccessivamente l'elemento.

Numerazione Nodale

L'ordine con cui vengono numerati i nodi degli elementi Triangolari è il seguente:

Fig. 1 Ordine di numerazione nodale per gli elementi Triangolari.

La terna di riferimento locale è cosi disposta:

L'ordine con cui vengono numerati i nodi degli elementi lastra-piastra a 4 nodi è il seguente:

Fig. 2 Ordine di numerazione per gli elementi finiti a quattro nodi.

La terna di riferimento locale è cosi disposta:

L'ordine con cui vengono numerati i nodi degli elementi lastra-piastra a 8 nodi è il seguente:

Fig. 3 Ordine di numerazione per gli elementi finiti a otto nodi.

La terna di riferimento locale è cosi disposta:

Convenzioni Segni Sollecitazioni

Per ottenere una rappresentazione grafica leggibile della distribuzione delle tensioni o azioni unitarie interne risulta di fondamentale importanza l'orientamento del sistema di riferimento locale di ciascun elemento piano inserito nel modello.

I valori riportati dalle procedure, infatti, fanno esclusivamente riferimento alle terne locali e, per esempio, se si chiede di visualizzare la distribuzione del diagramma degli IsoMomenti Mx vengono coinvolti i valori delle azioni flettenti unitarie agenti sulle facce dei vari elementi piani la cui normale è disposta secondo l'asse x locale. È evidente, allora, che se tutti gli assi locali x non sono orientati in una sola direzione il grafico che si ottiene perde immediatamente di significato. Per semplificare l'interpretazione di questi valori calcolati si adotta un sistema di riferimento ausiliario per la lettura dei risultati (vedi il comando Assegna direzione lettura tensioni) ed in questo modo il problema della lettura dei risultati dell'analisi viene semplificato.

I valori delle sollecitazioni rappresentati nei grafici (IsoMomenti, IsoTensioni, Tensioni Principali, ecc.) o riportati nei prospetti delle informazioni sugli elementi piani, fanno riferimento ai punti di Gauss impiegati nelle integrazioni sugli elementi finiti.

Fig. 4 Convenzione segni per il funzionamento a Lastra degli elementi bidimensionali.

Fig. 5 Convenzione segni per il funzionamento a Piastra degli elementi Bidimensionali.

Comportamento Membranale o a Lastra

Come già detto, si hanno a disposizione tre tipologie di elementi lastra-piastra per discretizzare il modello e cioè elementi a 3, 4 ed 8 nodi.

Gli elementi a tre e a quattro nodi sono elementi agli spostamenti che considerano per ogni nodo come componenti di spostamento nodale le due traslazioni secondo gli assi x,y nonchè la rotazione con asse normale al piano dell'elemento. L'elemento isoparametrico a 8 nodi è ottenuto per condensazione statica di quattro elementi con quattro nodi.

Fig. 6 Orientamento delle terne di riferimento locale e gradi di libertà coperti per gli elementi a 3, 4 ed 8 nodi.

L'elemento a 3 nodi implementato in WinStrand è un elemento ibrido con introduzione di ‘penalty functions' per considerare l'effetto drilling ed è stato sviluppato dal prof. Agostino Cannarozzi dell'Università di Bologna.

L'elemento a 4 nodi implementato in WinStrand è stato anch'esso sviluppato dal prof. Agostino Cannarozzi dell'Università di Bologna ed ha caratteristiche analoghe, anche se più performanti di quello a 3 nodi.

Tutti gli elementi passano il 'patch-test' sia da soli che in gruppo e presentano una convergenza monotona. Sono più precisi sul campo di spostamenti che non sulle tensioni, anche se offrono un buon comportamento anche su questo secondo parametro.

Merita particolare menzione il fatto che tutti gli elementi piani, pur coprendo il grado di libertà corrispondente alla rotazione normale al piano, il cosiddetto drilling, non sviluppano modi spuri ed effettivamente riproducono l'effetto d'incastro con eventuali elementi flessionali che si innestassero lungo il contorno. Questo fatto risulta molto importante qualora si impieghi l'elemento per modellare solette piane non parallele a nessuno dei piani coordinati. In questo caso infatti il grado di libertà alla rotazione con asse normale alla soletta risulta automaticamente e correttamente coperto.

Tutti gli elementi piani non prevedono l'uso di materiali ortotropi mentre è possibile utilizzarli sia in stato piano di tensione che in regime di stato piano di deformazione. Sono assogettabili a carichi di tipo superficiale, a variazioni termiche costanti ed a carichi distribuiti, eventualmente variabili linearmente, sull'intero sviluppo di un lato. In output vengono riportati i valori delle tensioni σ_x σ_y τ_xy oltre alle tensioni principali σ₁ e σ₂ nei cosiddetti punti di GAUSS ovverro quelli per i quali risulta essere più accurato il calcolo di dette tensioni. Per approfondimenti consultare Cap. 5.11 in , ed anche , , .

Fig. 7 Posizione dei punti di Gauss negli elementi a 3, 4 ed 8 nodi.

Per una trattazione più esauriente ed estesa dei modelli implementati, limitandoci agli sviluppi di base, si rimanda a , , , , , , .

Comportamento Flessionale o a Piastra

Come noto dalla letteratura tecnica, mentre il campo membranale, con esclusione dei problemi connessi al drilling, è stato, almeno per modelli a comportamento elastico lineare, "sufficientemente" dissodato, in campo flessionale permangono numerosi problemi, connessi fondamentalmente alla natura del campo di spostamenti da coprire, che fanno sì che "non esista", a parità di tipo di elemento, un elemento finito ottimale ma tanti modelli ognuno rispondente a particolari e talvolta contrastanti esigenze. Considerando, infatti, i due grandi filoni relativi a questo tipo di elementi, ovvero gli elementi sottili o alla Kirchhoff (per i quali si suppone che la normale alla sezione si mantenga rettilinea a deformazione avvenuta trascurando quindi la deformabilità a taglio della piastra) e gli elementi "thick" alla Reissner Mindlin (per i quali si considera esplicitamente la deformabilità tagliante), ci si trova di fronte ad una miriade di elementi, sviluppati sulla base di varie formulazioni, agli spostamenti, mixed ecc, ognuno dei quali, tuttavia, per qualche aspetto deficitario. I migliori elementi alla Kirchhoff infatti, sviluppati per elementi sottili, hanno la tendenza a bloccare, azzerare il campo di spostamenti facendo tendere a zero lo spessore dell'elemento, per contro gli elementi mixed, benchè più promettenti e con un campo d'applicazione più ampio, sono generalmente incompatibili ecc.. Quale elemento impiegare? A questa domanda, come detto, non esiste una risposta univoca ma tante in funzione del modello strutturale che si analizza. Necessariamente nel programma si è dovuta fare una scelta che mediasse varie esigenze e pertanto va posta particolare attenzione ai modelli in cui si utilizzano elementi a piastra in quanto non di rado presentano singolarità che vanno analizzate e capite al fine di non incorrere in errori anche grossolani.

L'elemento finito a 4 nodi implementato in WinStrand per il comportamento a piastra inflessa corrisponde con quello ibrido descritto in T.J.R. Hughes T.E. Tezduyar in .

L'elelemnto triangolare impiegato in WinStrand per il comportamento a piastra inflessa corrisponde con quello ibrido descritto da J.L. Batoz e P. Lardeur in .

La matrice di rigidezza dell'elemento piastra a 8 nodi è ottenuta per condensazione a partire dalle matrici di rigidezza di 4 elementi finiti a 4 nodi.

Fig. 8 Discretizzazione dell'elemento piastra a 8 nodi in 4 sottoelementi a 4 nodi.

Il nodo g è scelto baricentrico rispetto all'elemento a 4 nodi finale. Il calcolo della matrice di rigidezza e dei relativi carichi nodali equivalenti procede preassemblando le 4 matrici di rigidezza dei 4 componenti (i-j-g-h, j-k-l-g, g-l-m-n, h-g-n-p) e successivamente condensando le componenti di spostamento, ed i relativi carichi nodali equivalenti, del nodo centrale g. Dedotti, dal calcolo globale della struttura, gli spostamenti dei nodi di bordo, vengono ricavati "a ritroso" gli spostamenti del nodo centrale e quindi i momenti e tagli indotti nell'elemento.

Per tutti i modelli i momenti m_x m_y m_xy e i tagli t_x e t_y nonchè i momenti principali m₁ ed m₂ vengono forniti negli stessi punti di Gauss utilizzati per il comportamento a lastra. Per una più estesa trattazione dei problemi connessi a questo tipo di elementi si rimanda ai volumi ,,, , e da fino a .